|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Re: Vragen
Zou iemand kunnen uitleggen: Is elke Cauchy-rij convergent in de deelverzameling R. Normaal moet dit een eigenschap zijn van de Cauchy-rij. Heb gevonden dat dit de volledigheid in R is? Klopt dit? Hoe kan ik dit makkelijk aantonen en graag een voorbeeldje zodat ik het beter begrijp?
Antwoord
Ja, elke Cauchy-rij in $\mathbb{R}$ is convergent, en dat betekent, per definitie, dat $\mathbb{R}$ (metrisch) volledig is.
Het bewijs berust op de orde-volledigheid van $\mathbb{R}$.
Laat $(a_n)_n$ een Cauchy-rij in $\mathbb{R}$ zijn.
Stap 1: bewijs dat de verzameling $\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$ begrensd is. Hier pas je de Cauchy-eigenschap toe met $\epsilon=1$: er is een $N$ zo dat $|a_n-a_N| $<$ \epsilon$ voor $n\ge N$. Neem $M=\max\{1,|a_1-a_N|,\dots,|a_{N-1}-A_N|\}$; dan $a_N-M\le a_n\le a_N+M$ voor alle $n$.
Stap 2: bekijk de verzameling $A$ van $x$-en in $\mathbb{R}$ met de eigenschap dat er een $N_x$ is (afhankelijk van $x$) met $a_n $>$ x$ voor $n\ge N_x$. Die verzameling is niet leeg (elk getal kleiner dan $a_N-M$ zit in $A$) maar $a_N+M$ zit er niet in. Het getal $a_N-1$ hierboven zit ook in $A$.
Stap 3: neem het supremum van $A$ (de kleinste bovengrens), noem dat $a$. Dan geldt $a=\lim_n a_n$. Neem maar $\epsilon $>$ 0$ en neem $N_1$ en $N_2$ z\'o dat voor $n,m\ge N_1$ geldt $|a_n-a_m| $<$ \epsilon/2$ en voor $n\ge N_2$ geldt $a_n $>$ a-\epsilon$ (want $a-\epsilon$ zit in $A$). Omdat $a+\epsilon/2$ niet in $A$ zit is er een $m\ge\max\{N_1,N_2\}$ met $a_m\le a_\epsilon/2$. Dan volgt dat $a_n$<$a+\epsilon$ voor $n\ge\max\{N_1,n_2\}$.
Dit is zo ongeveer het eenvoudigste bewijs dat ik kan bedenken. `Eenvoudige' voorbeelden van Cauchyrijen zijn meestal overduidelijk convergent. Cauchyrijen worden vooral indirect gebruikt bij het bewijzen van stellingen.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
